Une seule composante indépendante

Par définition la composante $ab$ du moment quadrupôlaire du corps (1) s'écrit :

$$Q_1^{ab} = \int_{V_1}d^3\!x\, \rho(\vec{x},t) \left(x^{ab}-\frac13\, \delta^{ab}x^2\right)$$ (4.2)

Ainsi, pour l'ellipsoïde allongé (1) on a :

$$Q_1^{xy} = Q_1^{yx} = 0$$ (4.3)

$$Q_1^{xz} = Q_1^{zx} = 0$$ (4.4)

$$Q_1^{yz} = Q_1^{yz} = 0$$ (4.5)

$$Q_1^{yy} = Q_1^{zz} \neq 0$$ (4.6)

$$Q_1^{xx} = Q_1 \neq 0$$ (4.7)

sa trace étant nulle, par définition, soit :

$$Q_1^{xx} + Q_1^{yy} + Q_1^{zz} = 0 \qquad \textrm{soit}\quad Q_1^{yy} = Q_1^{zz} = -\frac12\ Q_1^{xx} = -\frac12\ Q_1$$ (4.8)

Un tel ellipsoïde de révolution a donc une seule composante du moment quadrupôlaire indépendante, $Q_1$.