Expression de $k_2$

Le résultat précédent est très intéressant car les constantes de Kopal (1965) s'expriment selon :

$$k_2 = \frac12\, \frac{3-\eta(1)}{2+\eta(1)}$$ (A.11)

où $\eta(1)$ est la valeur à la surface $(a=1)$ d'une solution particulière de l'équation différentielle du premier ordre de Radau :

$$a\frac{d\eta}{da} + 6 \frac{\rho}{\overline{\rho}}(\eta + 1) + \eta (\eta -1) = 6$$ (A.12)

avec la condition initiale : $\eta(0) = 0$. $\rho$ étant la densité à la distance $a$ du centre, et $\overline{\rho}$ la densité moyenne intérieure à $a$.

Par ailleurs, si la densité centrale de l'étoile est élevé, on montre que la solution exacte de cette équation peut être approximée par (Kopal (1965), équation (6)) :

$$k_2 = \frac{12}{5}\int_0^1 \left(\frac{\rho}{\overline{\rho}}\right)a^4 da$$ (A.13)

avec :

$$\overline{\rho} = 3\,\int_0^1 \rho a^2 da$$ (A.14)