Le moment quadrupôlaire total

Exprimons le moment quadrupôlaire total (3.6) pour le système particulier que l'on considère :

$$I_{ij} = \int_{source} d^3\!x\ \rho (\vec{x},t) \left(x_ix_j - \frac13 \delta_{ij} x^2\right)$$

$$= \int_{V_1} d^3\!x\ \rho (\vec{x},t) \left(x_ix_j - \frac13 \delta... ...nt_{V_2} d^3\!x\ \rho (\vec{x},t) \left(x_ix_j - \frac13 \delta_{ij} x^2\right)$$

$$= \int_{V_1} d^3\!x\ \rho (\vec{x},t) \left[(y_1^i+z_1^i)(y_1^j+z_1... ...rac13 \delta_{ij} (y_1^k+z_1^k)(y_1^k+z_1^k)\right] + (1 \longleftrightarrow 2)$$

$$= m_1 \left(y_1^iy_1^j - \frac13 \delta^{ij} y_1^2 \right) + Q_1^{ij} + (1 \longleftrightarrow 2)$$ (3.7)

Ce qui donne, compte tenu de (2.22) :

$$I^{ij} = I_G^{ij} + I_O^{ij} + Q_1^{ij} + Q_2^{ij}$$ (3.8)

avec :

$$I_G^{ij} = m\ (y_G^iy_G^j\,-\, 1/3\ \delta^{ij}\, y_G^2)$$ (3.9)

$$I_O^{ij} = \mu \ (y^iy^j\, -\, 1/3\ \delta^{ij}\,y^2), \qquad \textrm{le moment quadrup\^olaire orbital.}$$ (3.10)