La luminosité gravitationnelle

On veut déterminer les effets de taille finie (à l'ordre quadrupôlaire) sur les observables du système binaire compact. L'une d'entre elles est la phase orbitale $\Phi(t)$ du système (voir figure 3.1).

Figure 3.1: Illustration de la phase orbitale du système binaire.

La pulsation $\omega (t)$ est liée à la phase orbitale $\Phi(t)$ par $\omega (t) = d\Phi(t)/dt = \dot{\Phi} (t)$, donc :

$$\Phi(t) = \int \omega(t) dt = \int \frac{\omega}{\dot{\omega}} d\omega$$ (3.1)

Or, on suppose que notre système perd de l'énergie d'une orbite à l'autre par émission d'ondes gravitationnelles. Si on note $\mathcal{L}$ la luminosité des ondes gravitationnelles émises, on a le bilan d'énergie suivant :

$$\mathcal{L} = -\frac{dE}{dt}$$ (3.2)

où $E$ est l'énergie totale du système.

(3.2) peut encore s'écrire :

$$\mathcal{L} = -\frac{dE}{d\omega} \dot{\omega}$$ (3.3)

Ainsi :

$$\Phi(t) = \Phi(\omega) = -\int \frac{\omega}{\mathcal{L}} \frac{dE}{d\omega} d\omega$$ (3.4)

Il ne me reste plus qu'à déterminer $\mathcal{L}$ et $dE/d\omega$. En ce qui concerne la luminosité gravitationnelle, elle s'exprime en fonction du moment quadrupôlaire total de la source, selon la formule du quadrupôle d'Einstein :

$$\mathcal{L} = \frac{G}{5c^5} \dddot{I}_{ij} \dddot{I}^{ij}$$ (3.5)

où :

• $G$ est la constante de la gravitation ;
• $c$ est la vitesse de la lumière ;
• $\dddot{I}_{ij}$ est la dérivée troisième par rapport au temps du moment quadrupôlaire total du système $I_{ij}$ tel que :

$$I_{ij} = \int_{source} d^3\!x \rho (\vec{x},t) \left(x_ix_j - \frac13 \delta_{ij} x^2\right)$$ (3.6)

par définition.