Cas non perturbé

Dans ce cas, on obtient, sur cette base :

$$y_o^i = y_o\, e_{\rho}^i \qquad \textrm{avec} \quad y_o = cte$$ (3.41)

$$v_o^i = \dot{y}_o^i = y_o\ \dot{e}_{\rho}^i = y_o \dot{\varphi}_{\!o}\ e_{\varphi}^i \qquad \textrm{avec} \quad \dot{\varphi}_{\!o} = \omega_o = cte$$ (3.42)

$$a_o^i = \ddot{y}_o^i = y_o\ \dot{\varphi}_{\!o} \dot{e}_{\varphi}^i = - y_o \dot{\varphi}_{\!o}^2\ e_{\rho}^i$$ (3.43)

De plus, on a :

$$a_o^i = -\frac{m}{y_o^2}\, e^i_{\rho}$$ (3.44)

En égalisant les composantes sur $\rho$ de (3.43) et (3.44), on retrouve la $3^{\textrm {\\lq eme}}$ loi de Kepler :

$$y_o^3 \omega^2_o = m$$ (3.45)