Le mouvement perturbé

La perturbation $\delta y^i$ s'écrit :

$$\delta y^i = \delta y_{\rho}\, e^i_{\rho} + \delta y_{\varphi}\, e^i_{\varphi} + \delta y_{z}\, e^i_{z}$$ (3.46)

Et donc, on a :

$$y^i = (y_o + \delta y_{\rho})\, e^i_{\rho} + \delta y_{\varphi}\, e^i_{\varphi} + \delta y_{z}\, e^i_{z}$$ (3.47)

$$\dot{y}^i = (\delta \dot{y}_{\rho} - \delta y_{\varphi} \dot{\varphi}_{\!o})\... ...\!o} + \delta \dot{y}_{\varphi})\, e^i_{\varphi} + \delta \dot{y}_{z}\, e^i_{z}$$ (3.48)

$$\ddot{y}^i = (\delta \ddot{y}_{\rho} - 2 \delta \dot{y}_{\varphi} \dot{\varphi... ...\varphi} \dot{\varphi}_{\!o}^2)\, e^i_{\varphi} + \delta \ddot{y}_{z}\, e^i_{z}$$ (3.49)

Par ailleurs :

$$\ddot{y}^i = -m \frac{y^i}{y^3} + \underbrace{\frac12 \widetilde{Q}_{ab}\, \frac{6\, \delta^{ia}n_o^{b} - 15\, n_o^{iab}}{y_o^4}}_{\mathcal{F}^i}$$ (3.50)

La force ``massique'' $\mathcal{F}^i$ se décompose sur la base cylindrique de la façon suivante :

$$\mathcal{F}^i = \mathcal{F}_{\rho}\, e^i_{\rho} + \mathcal{F}_{\varphi}\, e^i_{\varphi} + \mathcal{F}_{z}\, e^i_{z}$$ (3.51)

avec :

$$\mathcal{F}_{\rho} = e^i_{\rho}\, \mathcal{F}^i = -\frac92\, \widetilde{Q}_{ab}\, \fra... ...ho}}{y_o^4} \qquad \textrm{o\\lq u} \quad e^{a}_{\rho} = n_o^a = \frac{y_o^a}{y_o}$$ (3.52)

$$\mathcal{F}_{\varphi} = e^i_{\varphi}\, \mathcal{F}^i = 3\, \widetilde{Q}_{ab}\, \frac{e^... ... \textrm{car} \quad e^i_{z} e^i_{\rho} = 0 \qquad \textrm{(base orthonorm\'ee)}$$ (3.53)

$$\mathcal{F}_{z} = e^i_{z}\, \mathcal{F}^i = 3\, \widetilde{Q}_{ab}\, \frac{e^a_{z} e^b_{\rho}}{y_o^4}$$ (3.54)

On obtient ainsi le système différentiel vérifié par les composantes de la perturbation, suivant (avec $\dot{\varphi}_{\!o} = \omega_o$) :

$$\delta \ddot{y}_{\rho} - 2 \delta \dot{y}_{\varphi} \omega_o - 3 \delta y_{\rho} \omega_o^2 = - \frac92\,\frac{1}{y_o^4}\, \widetilde{Q}_{ab}\, e^{ab}_{\rho}$$ (3.55)

$$\delta \ddot{y}_{\varphi} + 2 \delta \dot{y}_{\rho} \omega_o \qquad \qquad \ \ \, \, = \quad 3\, \frac{1}{y_o^4}\, \widetilde{Q}_{ab}\, e^a_{\varphi} e^b_{\rho}$$ (3.56)

$$\delta \ddot{y}_{z} \qquad \qquad \qquad \! \! + \delta y_z \omega_o^2 = \quad 3\, \frac{1}{y_o^4} \, \widetilde{Q}_{ab}\, e^a_{z} e^b_{\rho}$$ (3.57)

Dans le chapitre suivant, nous allons considérer une configuration particulière des composantes de la binaire ; ce qui nous permettra d'exprimer les moments quadrupôlaires en fonctions des variables du problème, et de trouver une solution particulière au système ci-dessus (orbite circulaire).