Approximation ``masses ponctuelles''

On peut se placer dans le cas abondamment étudié des masses ponctuelles. Pour ce faire, il suffit d'annuler les moments quadrupôlaires dans l'expression (3.27) ci-dessus. Cela donne :

$$\mathcal{L}_{Q=0} = \mu^2 \frac{G^3}{5\,c^5}\,\left[32\, \frac{m^2v^2}{y^4} -\frac{88}{3}\, \frac{m^2(nv)^2}{y^4}\right]$$ (3.28)

Je peux développer cette expression en exprimant ses différents termes en coordonnées polaires $(r, \psi)$ dans le plan de l'orbite :

$$\begin{array}{cclcccl} y^1 & = & r\, \cos \psi & \qquad & v^1... ...s \psi\, \dot{\psi} \\ y^3 & = & 0 & & v^3 & = & 0 \end{array}$$ (3.29)

ce qui fait que : $(nv) = \dot{r}$ et $v^2 = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\psi}^2$.

En outre, le mouvement est purement képlérien, la trajectoire est donc elliptique, et son équation est donnée par :

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \psi}$$ (3.30)

où $a$ est le demi-grand axe de l'ellipse et $e$ son excentricité. Avec :

$$\dot{r} = \frac{a(1-e^2)e\sin \psi\, \dot{\psi}}{(1+e\cos \psi)^2}$$ (3.31)

on a tous les éléments pour exprimer (3.28) en fonction des coordonnées polaires $r$ et $\psi$, et des paramètres $a$ et $e$ de l'ellipse. Ce qui donne :

$$\mathcal{L}_{Q=0} = \frac{8}{15}\,\frac{G^3}{c^5}\, \frac{m_1^2m... ...(1-e^2)^2}\, \dot{\psi} \left\{e^2 \sin^2 \psi +12\, (1+e \cos \psi)^2\right\}$$

De plus, on a $r^2 \dot{\psi} = \mathcal{C}$, où $\mathcal{C}$ est une constante du mouvement (constante des Aires). Donc :

$$\mathcal{L}_{Q=0} = \frac{8}{15}\,\frac{G^3}{c^5}\, \frac{m_1^2m... ...t(1+e\cos \psi\right)^4 \left\{e^2 \sin^2 \psi +12\, (1+e \cos \psi)^2\right\}$$

Par ailleurs, le paramètre $p$ de l'ellipse est tel que :

$$p = r\, (1+e \cos \psi)$$

$$p = \frac{J^2}{G \mu m_1 m_2} \qquad \textrm{avec} \quad J = \mu r^2 ... ... = \mu \mathcal{C}, \quad \textrm{$J$\ \'etant le module du moment cin\'etique}$$

Cela permet d'en déduire $\mathcal{C}$ :

$$\mathcal{C} = r^2 \dot{\psi} = \sqrt{G(m_1+m_2)a(1-e^2)}$$

soit :

$$\mathcal{L}_{Q=0} = \frac{8}{15}\,\frac{G^4}{c^5} \frac{m_1^2m_2^... ...ft(1+e\cos \psi\right)^4 \left\{e^2 \sin^2 \psi +12\, (1+e \cos \psi)^2\right\}$$ (3.32)

Le taux moyen d'émission d'ondes gravitationnelles est obtenu en moyennant (3.32) sur une période orbitale $P$ :

$$\left\langle\mathcal{L}_{Q=0}\right\rangle_P = \frac1P \int_0^P \mathcal{L}(t)dt$$

$$= \frac1P \int_0^{2\pi} \frac{r^2}{\mathcal{C}} \mathcal{L}(\psi) d\psi$$

La période orbitale étant donnée par la troisième loi de Kepler :

$$\frac1P = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{a^3}}$$

soit :

$$\left\langle\mathcal{L}_{Q=0}\right\rangle_P = \frac{1}{a^2 \sqrt{1-e^2}} \, \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} r^2 \mathcal{L}(\psi) d\psi$$ (3.33)

où $\mathcal{L}(\psi)$ est donné par (3.32). Ce qui donne finalement :

$$\left\langle\mathcal{L}_{Q=0}\right\rangle_P = \frac{32}{5} \, \f... ..._2)}{a^5(1-e^2)^{7/2}} \left(1+\frac{73}{24}\, e^2 + \frac{37}{96}\, e^4\right)$$ (3.34)

J'ai ainsi retrouvé le résultat obtenu par Peters et Mathews (1963).