Elévation au carré

On a :

$${\dddot{I}^{ij}}^2 = {\dddot{I}_O^{ij}}^2 + 2\ \dddot{I}_O^{ij} \left(\dddot{Q}_1^{ij} + \dddot{Q}_2^{ij}\right)$$ (3.16)

On élève (3.15) au carré, ce qui donne, compte tenu de (3.11) :

$${\dddot{I}_O^{ij}}^2 = 4 \mu^2 \left[9\ v^{<i}a^{j>}\ v^{i}a^{j} + y^2\ n^{<i}\dot{a}^{j>}\ n^i\dot{a}^j + 6y\ v^{<i}a^{j>}\ y^i\dot{a}^j \right]$$ (3.17)

On calcule ces différents termes en y portant les expressions de $a^i$ et $\dot{a}^i$, dans lesquelles on explicite les dérivées partielles successives de $1/y$.

Avec :

$$\partial_i \frac1y = -\frac{n_i}{y}$$ (3.18)

$$\partial_{ij} \frac1y = \frac{3n_{ij}-\delta_{ij}}{y^3}$$ (3.19)

Et compte tenu du fait que le tenseur du moment quadrupôlaire est symétrique et sans trace, on a^3.2 :

$$\widetilde{Q}_{ab}\ \partial^{iab} \frac1y = \widetilde{Q}_{ab}\ \frac{6\, \delta^{i(a}n^{b)} - 15\, n^{iab}}{y^4}$$ (3.20)

$$\widetilde{Q}_{ab}\ \partial^{ijab} \frac1y = \widetilde{Q}_{ab}\ \frac{6\, \delta^{i(a}\delta^{b)j} - 15\, (\... ...b} + 2\, \delta^{i(a} n^{b)j} + 2\, \delta^{j(a}n^{b)i}) + 105\, n^{ijab}}{y^5}$$ (3.21)

où les parenthèses sur les indices représentent une symétrie ( $\delta^{i(a}n^{b)} = 1/2\ (\delta^{ia}n^{b} + \delta^{ib}n^{a})$). On a donc :

$$a^i = -m \frac{n^i}{y^2} + \frac{3}{2\, y^4} \widetilde{Q}_{ab} (2\, \delta^{i(a} n^{b)} - 5\, n^{iab})$$ (3.22)

$$\dot{a}^i = {\frac{m}{y^3} \left(3\, (nv) n^i - v^i\right) + \frac{3}{2\, y^4} \dot{\widetilde{Q}}_{ab} \left(2\, \delta^{i(a}n^{b)}\right) +}$$

$$\frac{3}{2\, y^5} \widetilde{Q}_{ab} \left(2\, v^{(b} \delta^{a)i... ...} - 10\, (nv) \delta^{i(a}n^{b)} -10\, v^{(a}n^{b)i} + 35\, (nv) n^{iab}\right)$$ (3.23)

où j'ai utilisé la notation $(nv) = n_iv^i$ pour les produits scalaires.

Tout calcul fait, j'obtiens le résultat suivant :

$$\frac{1}{\mu^2}\, {\dddot{I}_O^{ij}}^2 = 32\, \frac{m^2v^2}{y^4} -\frac{88}{3}\, \frac{m^2(nv)^2}{y^4} -48... ...ab}\, n^{(a}v^{b)} + 72\, \frac{m(nv)}{y^5}\, \dot{\widetilde{Q}}_{ab}\, n^{ab}$$

$$+ 336\, \frac{mv^2}{y^6}\, \widetilde{Q}_{ab}\, n^{ab} +592\, \fr... ...Q}_{ab}\, n^{(a}v^{b)} -314\, \frac{m(nv)^2}{y^6}\, \widetilde{Q}_{ab}\, n^{ab}$$

$$- 48\, \frac{m}{y^6}\, \widetilde{Q}_{ab}\, v^{ab}$$ (3.24)

Par ailleurs, on a

$$\dddot{I}_O^{ij} \left(\dddot{Q}_1^{ij} + \dddot{Q}_2^{ij}\right) = 2 \mu\, \left(\dddot{Q}_1^{ij} + \dddot{Q}_2^{ij}\right) (3\, v^ia^j + y\, n^i\dot{a}^j)$$

$$= 2 \mu\, \left(\dddot{Q}_1^{ij} + \dddot{Q}_2^{ij}\right) \left(3\, \frac{m}{y^2} (nv) n^{ij} - 4\, \frac{m}{y^2} n^iv^j \right)$$ (3.25)

car $\dddot{Q}_1^{ij} + \dddot{Q}_2^{ij}$ est sans trace et symétrique.

Donc, en définitive, compte tenu de 3.24 et 3.25, j'obtiens :

$${\dddot{I}^{ij}}^2 = \mu^2 G^2\,\left[32\, \frac{m^2v^2}{y^4} -\frac{88}{3}\, \frac{m^... ...^{(a}v^{b)} + 72\, \frac{m(nv)}{y^5}\, \dot{\widetilde{Q}}_{ab}\, n^{ab}\right.$$

$$+ 336\, \frac{mv^2}{y^6}\, \widetilde{Q}_{ab}\, n^{ab} +592\, \fr... ...Q}_{ab}\, n^{(a}v^{b)} -314\, \frac{m(nv)^2}{y^6}\, \widetilde{Q}_{ab}\, n^{ab}$$

$$\left. - 48\, \frac{m}{y^6}\, \widetilde{Q}_{ab}\, v^{ab}\right] ... ...j}\right] \left[3\, \frac{m}{y^2} (nv) n^{ij} - 4\, \frac{m}{y^2} n^iv^j\right]$$ (3.26)

où $G$ est la constante de la gravitation.