La dérivée troisième par rapport au temps du moment quadrupôlaire orbital

En utilisant la notation compacte pour les tenseurs sans trace^3.1, on note (3.10) de la manière suivante : $I_O^{ij} = \mu y^{<ij>}$ avec $y^{ij} = y^iy^j$.

On obtient ainsi pour les dérivées respectives de $I_O^{ij}$ :

$$\dot{I}_O^{ij} = 2 \mu y^{<i}\dot{y}^{j>}$$ (3.12)

$$\ddot{I}_O^{ij} = 2 \mu (\dot{y}^{<ij>} + y^{<i}\ddot{y}^{j>})$$ (3.13)

$$\dddot{I}_O^{ij} = 2 \mu\, (3\dot{y}^{<i}\ddot{y}^{j>} + y^{<i}\dddot{y}^{j>})$$ (3.14)

ou encore, en notant $n^i = y^i/y$, $v^i = \dot{y}^i$, $a^i = \ddot{y}^i$ et $\dot{a}^i = \dddot{y}^i$ :

$$\dddot{I}_O^{ij} = 2 \mu (3\ v^{<i}a^{j>} + y\ n^{<i}\dot{a}^{j>})$$ (3.15)