... l'autre^1.1

L'étape finale de la coalescence ne sera pas observable par les interféromètres, puisque les ondes alors émises auront une fréquence autour du kHz (800 $\lesssim f \lesssim$ 2500 kHz) : le signal sera perdu dans le bruit de photon. L'observation d'un tel signal permettrait néanmoins d'obtenir de précieuses informations sur l'équation d'état de la matière nucléaire.

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... d'Univers^1.2

Car le signal gravitationnel est inversement proportionnel à la distance (d'aprés (1.2)).

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... excentricit\'e^1.3

Les binaires compactes résultantes de l'évolution stellaire normale doivent avoir une orbite trés circulaire, car les forces de réaction au rayonnement gravitationnel circularisent trés rapidement l'orbite ; mais les systèmes binaires compacts qui se forment par capture au sein d'un amas d'étoiles dense, peuvent avoir une orbite très excentrique.

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... composantes^1.4

Un des effets relativistes est le suivant : alors que les ondes émergent de la binaire, une fraction d'entre elles rétroagit une ou plusieurs fois sur la courbure de l'espace-temps de la binaire, produisant des ondes de ``queue''. Ces queues agissent en retour sur la binaire, modifiant son taux de décroissance orbitale d'une manière mesurable.
Par ailleurs, si le moment cinétique orbital est incliné par rapport au spin des composantes, chacun des moments cinétiques va précesser autour du moment cinétique total. Et cette précession va induire une modulation sur les ondes, d'où un deuxième effet relativiste (interaction spin-spin et spin-orbite).

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... r\'eduit^1.5

Il est donc plus important d'avoir les contributions Post-Newtoniennes sur la phase $\Phi = 2\pi\int fdt$ de façon très précise, par rapport aux modulations Post-Newtoniennes sur l'amplitude (Cutler et al. (1993)).

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... Irrotationnels^1.6

Les ellipsoïdes de Roche-Riemann sont des généralisations des ellipsoïdes de Roche, qui incluent, en plus de la fréquence orbitale, des rapports variables de la vorticité sur le moment cinétique de rotation. La viscosité étant finie, l'étoile ne sera jamais exactement sur la séquence de Roche, à cause de la dissipation qui entraîne une évolution continuelle de l'orbite.
Dans les ellipsoïdes de Roche, le fluide est stationnaire dans le repère tournant (il tourne à vitesse orbitale dans le repère inertiel).
Dans les solutions de Roche-Riemann (les plus générales), seule la forme de l'étoile est en corotation avec le mouvement orbital.
Par contre, pour les ellipsoïdes de Roche-Riemann Irrotationnels (avec une vorticité nulle), le fluide a seulement un mouvement oscillant dans le repère inertiel (il tourne exactement dans le sens contraire du mouvement orbital, dans le repère tournant).

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... corps^2.1

A travers l'ensemble de ce rapport, les indices (en lettres latines) prennent les trois valeurs des coordonnées spatiales.

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...)^2.2

Dans la plupart des calculs qui ponctuent ces pages, on prend les constantes : $G = c = 1$, sauf si elles sont indiquées clairement dans la formule !

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... fois^2.3

Pour toute fonction $F$ de $\vec{x}$ et de $t$, caractéristique d'un élément de fluide de volume $V$ et de densité $\rho$, on a :

$$\frac{d}{dt} \left( \int_V d^3\!x \rho F \right) = \int_V d^3\!x \rho \frac{dF}{dt}$$ (2.6)

relation qui se demontre aisément en utilisant l'équation de continuité, et compte tenu que les grandeurs comme la densité $\rho$ ou la pression $P$ sont à support compact.

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... ordre^2.4

Le développement limité au second ordre de $\partial^1_i \vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert$ est donné par :

$$\partial_i \frac{1}{\vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert} = \partial_i \... ...z_1^k z_1^j - 2 z_1^k z_2^j + z_2^k z_2^j) \partial_{kji} \frac{1}{y} + o (z^3)$$ (2.9)

en notant $x_1 = \vert\vec{y_1}+\vec{z_1}\vert$, $x_2 = \vert\vec{y_2}+\vec{z_2}\vert$ et $y = \vert\vec{y_1}-\vec{y_2}\vert$.

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... s'\'ecrit^2.5

Sachant que l'on a :

$$\delta^{i_1i_2}\partial_{i_1i_2...i_k}\frac{1}{y} = 0 \qquad \textrm{pour } k \geq 2$$

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...)^2.6

$\vec{y}_G$ étant le rayon vecteur du centre de masse $G$ des deux corps ( $\vec{y}_G = \vec{OG}$).

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... obtient^2.7

Le développement limité au second ordre de $\partial^1_i \vert\vec{x_1}- \vec{x_2}\vert^{-1}$ s'écrit :

$$\frac{1}{\vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert} = \frac{1}{y} + (z_1^j-z_... ...(z_1^j z_1^i - 2 z_1^j z_2^i + z_2^j z_2^i) \partial_{ji} \frac{1}{y} + o (z^3)$$ (2.31)

avec $y = \vert\vec{y_1}-\vec{y_2}\vert$.

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... antisym\'etrique^2.8

La composante $i$ du produit vectoriel des deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ s'ecrit :

$$\left(\vec{A} \wedge \vec{B}\right)_i = \varepsilon_{ijk} A_j B_k = - \varepsilon_{ijk} A_k B_j$$ (2.36)

où $\varepsilon_{ijk}$ est le pseudo-tenseur complètement antisymétrique :

$\varepsilon_{ijk} = 1$	si $ijk$ est une permutation paire de $123$ ;
$\varepsilon_{ijk} = -1$	si $ijk$ est une permutation impaire de $123$ ;
$\varepsilon_{ijk} = 0$	si deux indices sont identiques.

Ainsi :

$$\left\{ \begin{array}{ccccccc} \varepsilon_{123} & = & \varepsilo... ... = & \varepsilon_{132} & = & \varepsilon_{213} & = & -1 \\ \end{array} \right.$$ (2.37)

On a aussi :

$$\varepsilon_{ijk} \delta_{jk} = 0$$ (2.38)

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... trace^3.1

Les tenseurs sans trace : notation compacte.
On note le tenseur ``sans trace'' $T_{ij}$ comme $T_{<ij>}$, avec :

$$T_{<ij>} = S_{ij} - \frac13 \delta_{ij} S_{kk} \qquad \textrm{o\\lq u} \quad S_{ij} = \frac{T_{ij} + T_{ji}}{2}$$

On montre qu'avec cette notation :

$$T_{<ij>} T_{<ij>} = T_{<ij>} T_{ij}$$ (3.11)

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... a^3.2

Attention ! Ces expressions ne sont valables que derrière un tenseur symétrique en $a$ et $b$ et sans trace !

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... ponctuelles^3.3

L'émission d'ondes gravitationnelles finit par circulariser les orbites : le cas présent est donc tout à fait réaliste.

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... circulariser^4.1

En effet, l'excentricité d'un mouvement keplerien s'exprime selon :

$$e = \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{G^2 \mu^3 m^2}}$$

où $J$ est le moment cinétique du système ( $J=\mu r^2 \omega = cte$ pour un tel système), et $E$ son énergie ; les effets de marée dissipant de l'énergie de façon irréversible, $E$ diminue, donc $e$ tend vers 0 (orbite ciculaire).

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...)^4.2

Ces valeurs sont typiques pour des étoiles à neutron.

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