L'énergie totale est constante

Nous allons vérifier que l'énergie totale $E_{tot}$ est bien constante en exprimant les variations temporelles des énergies internes $E_1$ et $E_2$ des deux corps en fonction des moments quadrupôlaires associés.

D'après la relation (2.27), on a :

$$\frac{dE_1}{dt} = \underbrace{ \int_{V_1} d^3\!z_1\, \rho_1 \frac... ..._{I_2} \underbrace{-\frac12 \int_{V_1} d^3\!z_1\, \rho_1 \frac{dU_1}{dt}}_{I_3}$$ (2.29)

où :

$$U_1 = \int_{V_1} d^3\!z'_1 \frac{\rho_1'}{\vert\vec{z_1}-\vec{z'_1}\vert}$$ (2.30)

Je développe l'intégrale $I_1$, avec $z_1^i = x^i - y^i_1$, puis en insérant l'accélération d'Euler (2.4), et avec les résultats du §2.2.1, j'obtiens :

$$I_1 = -I_2 - I_3 + \int_{V_1} d^3\!z_1\, \rho_1 \frac{dz_1^i}{dt}... ... \int_{V_2} d^3\!x_2\, \frac{\rho(\vec{x_2},t)}{\vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert}$$

En incorporant le développement limité de $\partial^1_i \vert\vec{x_1}- \vec{x_2}\vert^{-1}$, on obtient^2.7 à l'ordre quadrupôlaire :

$$\frac{dE_1}{dt} = \frac12\, m_2\, \partial_{ab} \frac1y\ \frac{dQ_1^{ab}}{dt} \qquad \textrm{car } \quad \delta^{ij}\partial_{ij} \frac1y = 0$$

Le calcul s'effectue pareillement pour $dE_2/dt$. Les variations temporelles des énergies internes des corps ``1'' et ``2'' s'écrivent donc :

$$\frac{dE_1}{dt} = \frac12\, m_2\, \partial_{ab} \frac1y\ \frac{dQ... ...d \frac{dE_2}{dt} = \frac12\, m_1\, \partial_{ab} \frac1y\ \frac{dQ_2^{ab}}{dt}$$ (2.32)

donc, comme il se doit,

$$\frac{dE_1}{dt} + \frac{dE_2}{dt} = \frac{\mu}{2}\, \dot{\widetilde{Q}}^{ab} \partial_{ab} \frac1y$$ (2.33)

avec l'équation du mouvement (2.11) multipliée scalairement par $v^i$ :

$$\mu v^i \frac{d^2y_i}{dt^2} = m_1m_2\, \frac{d}{dt} \frac1y + \frac12 \mu \widetilde{Q}^{ab} \frac{d}{dt} \partial_{ab} \frac1y$$ (2.34)

cela donne (à partir de (2.26)) :

$$\frac{dE_{tot}}{dt} = 0$$ (2.35)

L'énergie totale est donc bien conservée.