A partir de l'équation d'Euler : expression générale

Pour déterminer l'énergie totale d'un fluide quelconque soumis à un potentiel gravitationnel, on multiplie scalairement l'équation d'Euler par le vecteur vitesse $\vec{v}$. On intègre le tout sur le volume $V$ du fluide :

$$\underbrace{\int_V d^3\!x \rho \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} v_i... ...^i \partial_i P}_{2} + \underbrace{\int_V d^3\!x \rho v^i \partial_i U}_{3} = 0$$ (2.12)