L'énergie interne

En intégrant le terme 2 de (2.12) par parties, on obtient :

$$\int_V d^3\!x v^i \partial_i P = - \int_V d^3\!x P \partial_i v^i = \int_V d^3\!x \frac{P}{\rho}\frac{d\rho}{dt}$$ (2.14)

d'après l'équation de continuité.

De plus, le Premier Principe de la Thermodynamique, pour un système isolé, nous donne :

$$dU_{int} = \delta W = -PdV = P \frac{M}{\rho^2}\ d\rho$$

où $U_{int}$ est l'énergie interne du système, W le travail, $M$ la masse du système, $V$ son volume et $\rho$ sa densité. Si on note $\Pi = U_{int}/M$ l'énergie interne massique, on obtient $d\Pi = P/\rho^2\ d\rho$ donc $P/\rho\ d\rho /dt = \rho\ d\Pi /dt$. En reportant dans l'intégrale (2.14), cela donne :

$$\int_V d^3\!x\, v^i \partial_i P = \int_V d^3\!x \rho \frac{d\Pi}{dt} = \frac{dU_{int}}{dt}$$ (2.15)