Position du problème

On considère deux masses fluides en interaction gravitationnelle (voir figure 2.1). Les masses $m_1$ et $m_2$ contenues respectivement dans les volumes $V_1$ et $V_2$, s'expriment selon :

$$m_1 = \int_{V_1} d^3\!x \rho(\vec{x},t) = \int_{V_1} d^3\!z_1 \rh... ... = \int_{V_2} d^3\!x \rho(\vec{x},t) = \int_{V_2} d^3\!z_2 \rho_2 (\vec{z_2},t)$$ (2.1)

Les vecteurs des centres d'inertie des deux masses, $\vec{y_1}$ et $\vec{y_2}$ s'écrivent, par définition du barycentre de chacun des deux corps^2.1 :

$$y^i_1 = \frac{1}{m_1} \int_{V_1} d^3\!x \rho(\vec{x},t) x^i \qquad \textrm{et} \qquad y^i_2 = \frac{1}{m_2} \int_{V_2} d^3\!x \rho(\vec{x},t) x^i$$ (2.2)

Le système ainsi considéré obéit aux équations de l'hydrodynamique :

• l'équation de continuité :

  $$\partial_t \rho + \partial_i (\rho v^i) = 0$$ (2.3)

  
  
  où $\rho$ est la densité de la particule de fluide considérée, et $\vec{v}$ sa vitesse.
• l'équation d'Euler :

  $$\rho \frac{dv_i}{dt} = -\partial_i P + \rho \partial_i U$$ (2.4)

  
  
  où $P$ est la pression de la particule fluide. $U$ est le potentiel gravitationnel qui vérifie l'équation de Poisson : $\Delta U = -4\pi \rho$ (où on a pris $G = 1$)^2.2.

Figure 2.1: Le système des deux masses fluides, en interaction gravitationnelle. Ce schéma montre les notations utilisées. L'origine du référentiel (inertiel) dans lequel on se place est le point O. Les points G$_1$ et G$_2$ sont les centres de masse des corps 1 et 2.

Le potentiel gravitationnel pour le système que l'on considère (deux volumes fluides distincts) s'écrit :

$$U(\vec{x_1},t) = \int_{V_1} d^3\!x'_1 \frac{\rho(\vec{x'_1},t)}{\... ... + \int_{V_2} d^3\!x_2 \frac{\rho(\vec{x_2},t)}{\vert\vec{x_1}- \vec{x_2}\vert}$$ (2.5)