Equation du mouvement du corps 1

On part de l'expression du vecteur centre d'inertie (2.2), que l'on dérive deux fois^2.3:

$$\frac{d^2y^i_1}{dt^2} = \frac{1}{m_1}\frac{d}{dt} \int_{V_1} d^3\... ...ho \frac{dx_1^i}{dt} = \frac{1}{m_1} \int_{V_1} d^3\!x\, \rho \frac{dv_1^i}{dt}$$ (2.7)

En remplaçant le terme d'accélération par l'expression de l'accélération d'Euler (2.4), le potentiel gravitationnel $U$ étant donné par (2.5), on obtient :

$$\frac{d^2y_1^i}{dt^2} = \frac{1}{m_1} \int_{V_1} d^3\!x_1 \rho(\v... ...} d^3\!x_2 \rho(\vec{x_2},t) \partial_i \frac{1}{\vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert}$$ (2.8)

compte tenu du principe de l'action et de la réaction, et du fait que la pression $P$ est à support compact.

En reportant dans cette équation le développement limité au deuxième ordre^2.4 de $\partial_i \vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert^{-1}$, et avec les moments quadrupôlaires des deux corps :

$$Q_1^{ab} = \int_{V_1}d^3\!z_1 \rho_1 \left(z_1^a z_1^b - \frac13 ... ...\int_{V_2}d^3\!z_2 \rho_2 \left(z_2^a z_2^b - \frac13 \delta^{ab}z_2^2\right)$$

l'équation du mouvement du corps 1 s'écrit^2.5 :

$$\frac{d^2y_1^i}{dt^2} = m_2 \partial^i \frac1y + \frac12 \frac{1}... ... \partial_{ab} \partial^i \frac{1}{y} \left( m_2 Q_2^{ab} + m_1 Q_1^{ab}\right)$$ (2.10)