Expression générale

On multiplie vectoriellement l'équation d'Euler par $\vec{x}$, en intégrant sur le volume $V$ du fluide :

$$\int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \frac{d^2x_k}{dt^2} = ... ...k} x_j \partial_k P + \int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \partial_k U$$

où $\varepsilon_{ijk}$ est le pseudo-tenseur complètement antisymétrique^2.8.

Soit :

$$\frac{d}{dt}\int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \frac{dx_k}{dt} = \int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \partial_k U$$ (2.39)

La première intégrale du membre de droite étant nulle en vertu de (2.38).

Par la suite, on exprime le potentiel gravitationnel $U$, compte tenu du fait que le volume $V$ est scindé en deux volumes $V_1$ et $V_2$ pour le cas qui nous concerne. On développe à l'ordre quadrupôlaire, compte tenu de (2.9). Ce qui donne :

$$\int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \partial_k U = \underbrace{ m_1m_2 \varepsilon_{ijk} y_j \partial_k \frac1y}_{=\... ... z_1^l + m_1 \int_{V_2} d^3\!z_2\, \rho_2 z_2^j z_2^l\right]}_{\scriptstyle{1}}$$

$$+ \underbrace{ \frac12 \varepsilon_{iab}\, \partial_{bcd}\, \frac1y\, y^a \widetilde{Q}^{cd}}_ {\scriptstyle{2}}$$ (2.40)

Le terme $1$ s'écrit :

$$\textrm{\lq\lq 1''} = \varepsilon_{ijk} \frac{-\delta^{kl}y^2 + 3y^ky^l}{y^5} \left[ m_... ...!z_1\, \rho_1 z_1^j z_1^l + m_1 \int_{V_2} d^3\!z_2\, \rho_2 z_2^j z_2^l\right]$$

$$= - \frac{3}{y^5} \varepsilon_{iab}\, y^a \widetilde{Q}^{bc} y^c$$ (2.41)

tandis que le terme $2$ devient :

$$\textrm{\lq\lq 2''} = \frac12 \varepsilon_{ijk}\, \frac{3y^2(\delta^{kl} y_m + \delta^{km} y_l + \delta^{lm} y_k) - 15 y_ky_ly_m}{y^7} y^j \widetilde{Q}^{ml}$$

$$= \frac{3}{y^5} \varepsilon_{iab}\, y^a \widetilde{Q}^{bc} y^c$$ (2.42)

ainsi le terme $2$ s'en va exactement avec le terme $1$ précédent !

Donc :

$$\int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \partial_k U = 0$$ (2.43)

Ainsi (2.39) s'écrit :

$$\frac{d}{dt}\int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \frac{dx_k}{dt} = 0$$ (2.44)

Le moment cinétique total $J_i$ de deux fluides en interaction gravitationnelle mutuelle est donc constant, tel que :

$$J_i = \int_V d^3\!x\, \rho \varepsilon_{ijk} x_j \frac{dx_k}{dt}$$ (2.45)