Résolution du système

Le moment quadrupôlaire a été évalué au §4.2 dans un référentiel lié au corps considéré.

Or, auparavant nous avons considéré le mouvement dans un référentiel inertiel ; mais dans le cas étudié ici, les quadrupôles sont fixes dans le référentiel tournant. On passe des composantes du moment quadrupôlaire dans le référentiel inertiel aux composantes dans le référentiel en rotation par :

$$Q_{AB} = e_A^a\, e_B^b\, Q_{ab}$$ (4.10)

où $A, B$ désigne le repère tournant, tandis que $a, b$ désigne le repère fixe. Ainsi, en revenant au système de coordonnées cylindriques du §3.3.2, les composantes du moment quadrupôlaire sur les axes liés au mouvement orbital, sont :

$$e_{\rho}^{ab}\ \widetilde{Q}_{ab} = \widetilde{Q}_{\rho \rho} = \widetilde{Q}$$ (4.11)

$$e_{\rho}^a\, e_{\varphi}^b\ \widetilde{Q}_{ab} = \widetilde{Q}_{\rho \varphi} = 0$$ (4.12)

$$e_{\rho}^a\, e_z^b\ \widetilde{Q}_{ab} = \widetilde{Q}_{\rho z} = 0$$ (4.13)

Ainsi le système différentiel pour les composantes de la perturbation (équations (3.55), (3.56) et (3.57)) devient :

$$\left\{\begin{array}{lcrcl} \delta \ddot{y}_{\rho} - 2 \delta \do... ...elta \ddot{y}_{z}\!\!& + &\!\!\delta y_z \omega_o^2 & = & 0 \end{array} \right.$$ (4.14)

La solution générale de ce système est, en supposant que la projection sur l'axe ($\rho \rho$) du moment quadrupôlaire est constante sur une période :

$$\delta y_{\rho} = A \sin (\omega_o t + B) -\frac92 \left(\frac{\omega_o^2}{m^4}\right)^{1/3} \widetilde{Q}_{\rho \rho} + \frac{2C}{\omega_o}$$ (4.15)

$$\delta y_{\varphi} = 2 A \cos (\omega_o t + B) + \left[9 \left(\frac{\omega_o^5}{m^4}\right)^{1/3} \widetilde{Q}_{\rho \rho} - 3C\right]\ t + D$$ (4.16)

$$\delta y_z = E \sin (\omega_o t + F)$$ (4.17)

où $A,B,C,D,E$ et $F$ sont des constantes.

Ainsi, il existe une solution circulaire ( $\delta y_{\rho} = cte$), dans le plan $xy$ ( $\delta y_z = 0$), si on choisi :

$$A =$$ 0

$$E =$$ 0

De plus $\quad\delta y_{\varphi}(0) = 0\ \Rightarrow\ D = 0$. Ce qui donne finalement :

$$\delta y_{\rho} = -\frac92 \left(\frac{\omega_o^2}{m^4}\right)^{1/3} \widetilde{Q}_{\rho \rho} + \frac{2C}{\omega_o}$$ (4.18)

$$\delta y_{\varphi} = \left[9 \left(\frac{\omega_o^5}{m^4}\right)^{1/3} \widetilde{Q}_{\rho \rho} - 3C\right]\cdot\, t$$ (4.19)

$$\delta y_{z} =$$ 0 (4.20)

On obtient bien ainsi un mouvement circulaire.