Les énergies internes

L'énergie interne du corps (1) est telle que :

$$\dot{E}_1 = \frac32\, \frac{m_2}{y^3}\, \dot{Q}_1^{ab}\, n_{ab}$$

$$= \frac32\, \frac{m_2}{y^3}\, \left[\frac{d\left(Q_1^{ab}\,n_{ab}\right)}{dt} - Q_1^{ab}\, \frac{d(n_{ab})}{dt}\right]$$

or :

$$Q_1^{ab}\, \frac{d(n_{ab})}{dt} = Q_1... ..., \omega_o\, Q^{\rho \varphi}_1 = 0 \qquad \textrm{d'apr\\lq es (\ref{eqn:qxy})}$$

soit :

$$\dot{E}_1 = \frac32\, \frac{m_2}{m}\, \omega^2\, \dot{Q}_1$$ (4.31)

avec $\dot{Q}_1 = 2\, \xi_1\, \omega \dot{\omega}$ d'après (4.28).

Pour obtenir l'expression de l'énergie interne, on intègre entre $-\infty$ et $t$, ce qui donne :

$$E_1(t) = \int_{-\infty}^{t}\dot{E}_1\,dt = 3\,\xi_1\, \frac{m_2}{... ...ega} \, dt = 3\,\xi_1\, \frac{m_2}{m}\, \int_{0}^{\omega(t)} \omega^3\, d\omega$$ (4.32)

car $\omega(-\infty) = 0$.

Donc :

$$E_1(t) = \frac{3\xi_1}{4}\, \frac{m_2}{m}\, \omega^4(t)$$ (4.33)

ainsi :

$$E_1 + E_2 = \frac{3 \widetilde{\xi}}{4}\, \frac{\mu}{m}\, \omega^4$$ (4.34)

et l'énergie totale (4.30) peut s'écrire :

$$E_{tot} = -\frac12\ \mu\, (m\omega)^{2/3} + \frac{9\widetilde{\xi}}{4}\ \frac{\mu}{m}\, \omega^4 + \frac12\ m v_G^2$$ (4.35)