Le terme d'énergie potentielle gravitationnelle

Le troisième terme dans l'expression de l'énergie s'écrit :

$${ -\frac12 \int_{V_1} d^3\!x\, \rho(\vec{x},t) U(\vec{x},t) =}$$

$$-\frac12 \int_{V_1} d^3\!z_1\, d^3\!z'_1 \frac{\rho(\vec{z_1},t) ... ...\rho(\vec{z_1},t) \int_{V_2} d^3\!z_2\, \frac{1}{\vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert}$$ (2.24)

En reportant dans le deuxième terme de droite le développement limité de $\vert\vec{x_1}-\vec{x_2}\vert^{-1}$ donné par (2.31), on obtient :

$${ -\frac12 \int_{V_1} d^3\!x\, \rho(\vec{x},t) U(\vec{x},t) =}$$

$$-\frac12 \int_{V_1} d^3\!z_1 d^3\!z'_1\, \frac{\rho(\vec{z_1},t) ... ...ac{m_1 m_2}{y} + \frac{\mu}{2} \widetilde{Q}^{ab} \partial_{ab} \frac1y\right\}$$ (2.25)

où $\mu$ est la masse réduite du système ( $\mu = m_1m_2/(m_1+m_2)$).

On fait le même travail sur le volume 2 (les calculs sont identiques, il suffit de remplacer les indices ``1'' par des indices ``2'').