La luminosité gravitationnelle

Avec les relations (4.23) et (4.25), l'expression (3.27) devient (car $(yv) \sim \delta \dot{y}_\rho = 0$) :

$$\mathcal{L} = \frac{32}{5}\, \frac{G^{7/3}}{c^5}\, \mu^2 m^{4/3}\, \omega^{10/3... ..., \underbrace{\widetilde{Q}_{ab}\, e_{\varphi}^{ab}}_ {-\frac12\,\widetilde{Q}}$$

$$-\frac32\, \left(\frac{\omega}{G^2 m^5}\right)^{1/3}\, \dot{\wide... ...2^{ab}\right)\, e_{\rho}^a\, e_{\varphi}^b}{(G^2\mu^3m^2\omega^5)^{1/3}}\Bigg\}$$ (4.37)

avec :

$$\dot{\widetilde{Q}}^{ab}\, e_{\rho}^a\, e_{\varphi}^b = \frac32\, \omega\, \widetilde{Q} =\frac32\, \omega^3\, \widetilde{\xi}$$ (4.38)

$$\left(\dddot{Q}_1^{ab} + \dddot{Q}_2^{ab}\right)\, e_{\rho}^a\, e_{\varphi}^b = \frac92\, \omega\, \left(\ddot{Q}_1 + \ddot{Q}_2\right)\, -6\, \omega^3\, \left(Q_1 + Q_2\right)$$

$$= 3\, \omega\,(\xi_1 + \xi_2)\, \left[3\, (\dot{\omega}^2+\omega \ddot{\omega}) -2\, \omega^4\right]$$ (4.39)

en outre : $\xi \sim Q$ et $\dot{\omega} \sim Q$ donc $\xi\cdot \dot{\omega} = o(Q^2)$

Donc :

$$\mathcal{L} = \frac{32}{5}\, \frac{G^{7/3}}{c^5}\, \mu^2 m^{4/3}\... ...\, \left(\frac{\omega^{10}}{G^2 \mu^3 m^2}\right)^{1/3}\,(\xi_1 + \xi_2)\Bigg\}$$ (4.40)